Rubrique secondaire: Analyse Harmonique / Harmonic Analysis Titre français: Preuve de la conjecture de quasi-orthogonalité de Saffari pour les suites ultra-plates de polynômes unimodulaires. PROOF OF SAFFARI’S NEAR-ORTHOGONALITY CONJECTURE FOR ULTRAFLAT SEQUENCES OF UNIMODULAR POLYNOMIALS

Let Pn(z) = ∑n k=0 ak,nz k ∈ C [z] be a sequence of unimodular polynomials (|ak,n| = 1 for all k, n) which is ultraflat in the sense of Kahane, i.e., lim n→∞ max |z|=1 ∣∣∣(n + 1)−1/2|Pn(z)| − 1∣∣∣ = 0 . We prove the following conjecture of Saffari (1991): ∑n k=0 ak,nan−k,n = o(n) as n → ∞, that is, the polynomial Pn(z) and its “conjugate reciprocal” P ∗ n(z) = ∑n k=0 an−k,nz k become “nearly orthogonal” as n → ∞ . To this end we use results from [Er1] where (as well as in [Er3]) we studied the structure of ultraflat polynomials and proved several conjectures of Saffari. Preuve de la conjecture de quasi-orthogonalité de Saffari pour les suites ultra-plates de polynômes unimodulaires Résumé. Soit Pn(z) = ∑n k=0 ak,nz k ∈ C [z] une suite de polynômes unimodulaires (|ak,n| = 1 pour tout k, n) supposée ultra-plate au sens de Kahane, c.à.d. lim n→∞ max |z|=1 ∣∣∣(n + 1)−1/2|Pn(z)| − 1∣∣∣ = 0 . Nous prouvons la conjecture suivante de Saffari (1991): ∑n k=0 ak,nan−k,n = o(n) pour n → ∞, c.à.d. que le polynôme Pn(z) et son “reciproque conjugué” P ∗ n(z) = ∑n k=0 an−k,nz k deviennent “quasi-orthogonaux” lorsque n → ∞ . Pour ce faire nous employons des résultats de [Er1] où (ainsi que dans [Er3]) nous avons étudié la structure des polynômes ultra-plats et avons prouvé plusieurs conjectures de Saffari. 1991 Mathematics Subject Classification. 41A17.